가환 그림

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1. 개요
2. 설명
- 2.1. 화살표 기호
- 2.2. 가환성 확인
3. 예
- 3.1. 예 1: 제1 동형 정리
- 3.2. 예 2: 일반적인 가환 사각형
4. 그림 추적(Diagram Chasing)
5. 고등 범주론에서의 가환 그림
6. 함자로서의 그림(Diagrams as Functors)
참조

1. 개요

가환 그림은 대상(꼭지점), 사상(화살표 또는 모서리), 경로 또는 합성으로 구성되며, 범주론에서 사용되는 개념이다. 가환 그림은 다각형의 모든 부분 그림이 가환적일 때 가환적이며, 그림 추적이라는 증명 방법을 통해 사상의 성질을 파악하는 데 활용된다. 또한 고등 범주론에서는 고차원적인 화살표를 포함하며, 함자로서의 그림은 인덱스 범주에서 범주로의 함자로 해석될 수 있다.

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가환 그림
개요
가환 그림의 예시
분야	수학
하위 분야	범주론
관련 개념	범주, 함자
세부 정보
정의	대상과 사상으로 구성된 그림에서, 그림 속의 모든 방향성 있는 경로가 같은 합성 사상을 가지면 가환한다고 정의함.
설명	가환 그림은 수학에서 여러 대상 (보통 집합) 사이의 관계를 시각적으로 표현하고, 이들 사이의 함수 또는 사상이 어떻게 "가환"하는지 보여줌.
활용	복잡한 수학적 증명을 단순화하고, 다양한 분야 (특히 대수학과 위상수학)에서 추론을 용이하게 함.
특징	그림 내의 모든 경로는 동일한 결과를 가져야 하며, 이는 경로 독립성을 의미함.
예시
기본 예시	간단한 예시로, A에서 D로 가는 두 경로 (A→B→D 및 A→C→D)가 동일한 사상 f를 통해 연결되면 해당 그림은 가환함.
복잡한 예시	더 복잡한 구조에서 여러 대상과 사상이 얽혀 있을 때, 가환성은 특정 조건 하에서 유지되어야 함.

2. 설명

가환 그림은 보통 다음 세 가지 요소로 구성된다.

대상(꼭짓점이라고도 함)
사상(화살표 또는 변이라고도 함)
경로 또는 합성

대수학 교재에서는 사상을 다양한 형태의 화살표로 나타낼 수 있다. 파선 화살표는 보통 그림의 나머지 부분이 성립할 때마다 해당 사상이 존재한다는 것을 나타낸다. (자세한 화살표 기호는 하위 섹션을 참고)

2. 1. 화살표 기호

가환 그림에서 사상의 유형은 대수학에서 다른 화살표 표기법으로 나타낼 수 있다.

단사 사상: $\hookrightarrow$ ^[8] 또는 $\rightarrowtail$ .^[9]
전사 사상: $\twoheadrightarrow$ .
동형 사상: $\overset{\sim}{\rightarrow}$ .
점선 화살표는 일반적으로 표시된 형태가 존재한다는 주장을 나타낸다(그림의 나머지 부분이 유지될 때마다). 화살표는 선택적으로 $\exists$ 과 같이 표시될 수 있다. 사상이 추가로 유일한 경우 점선 화살표는 $!$ 또는 $\exists!$ 과 같이 표시될 수 있다.

서로 다른 화살표의 의미는 완전히 표준화되지 않았다. 단사 사상, 전사 사상 및 동형 사상에 사용되는 화살표는 단사, 전사 및 전단사뿐만 아니라 모형 범주의 여올화, 올화 및 약한 동등성에도 사용된다.

2. 2. 가환성 확인

가환성은 유한한 변의 수(1 또는 2)를 갖는 다각형에 대해 의미가 있으며, 모든 다각형 부분 그림이 가환적이면 그 그림은 가환적이다.

그림은 비가환적일 수 있는데, 이는 그림에서 서로 다른 경로의 구성이 동일한 결과를 나타내지 않을 수 있음을 의미한다.

3. 예

제1 동형 정리를 나타내는 그림에서 가환성은 $f = \tilde{f} \circ \pi$ 를 의미한다. 일반적인 가환 사각형에서, $h \circ f = k \circ g$ 이다.

3. 1. 예 1: 제1 동형 정리

제1 동형 정리를 나타내는 왼쪽 그림에서 삼각형의 가환성은

f = \tilde{f} \circ \pi

를 의미한다. 오른쪽 그림에서 정사각형의 가환성은

h \circ f = k \circ g

를 의미한다.

3. 2. 예 2: 일반적인 가환 사각형

아래는 일반적인 가환 사각형이며,

h \circ f = k \circ g

이다.

4. 그림 추적(Diagram Chasing)

'''그림 추적'''(또는 '''그림 검색''')은 호몰로지 대수학에서 사용되는 증명 방법으로, 가환 그림의 원소를 추적하여 어떤 사상의 성질을 설정한다. 그림 추적에 의한 증명은 일반적으로 단사 또는 전사 사상, 또는 완전열과 같은 그림 성질을 공식적으로 사용한다.^[10] 삼단논법이 구성되며, 그림은 시각적인 보조 수단일 뿐이다. 결국 원하는 원소나 결과가 구성되거나 확인될 때까지 그림 주변의 원소를 "추적"하게 된다.

그림 추적에 의한 증명의 예로는 5개의 보조 정리, 뱀 보조 정리, 지그재그 보조 정리, 9개의 보조 정리 등이 있다.

5. 고등 범주론에서의 가환 그림

고등 범주론에서는 대상과 화살표뿐만 아니라 화살표 사이의 화살표, 화살표 사이의 화살표 사이의 화살표 등을 무한히 고려한다. 예를 들어 작은 범주 $\textbf{Cat}$ 범주는 자연스럽게 2-범주이며, 함자는 화살표이고 자연 변환은 함자 사이의 화살표이다. 이 설정에서 가환 그림에는 $\Rightarrow$ 로 자주 묘사되는 고등 화살표도 포함될 수 있다. 예를 들어, 다음 그림은 두 개의 범주 '' $\textbf{C}$ '', $\textbf{D}$ 와 함께 두 개의 함자 '' $F,G$ '': '' $\textbf{C}\rightarrow \textbf{D}$ '' 및 자연 변환 $\alpha:F\Rightarrow G$ 을 보여준다.

2-범주에는 두 종류의 구성('''수직 구성''' 및 '''수평 구성''')이 있으며 붙여넣기 그림을 통해 묘사할 수도 있다.

6. 함자로서의 그림(Diagrams as Functors)

범주 ''C''의 가환 그림은 인덱스 범주 ''J''에서 ''C''로의 함자로 해석될 수 있다. 이 함자를 '''그림'''이라고 부른다.

좀 더 자세하게는, 가환 그림은 부분순서집합 범주로 색인화된 그림의 시각화이다. 이러한 그림에는 일반적으로 다음이 포함된다.

색인 범주의 모든 대상에 대한 노드
사상 생성 집합에 대한 화살표 (구성으로 표현될 수 있는 동형사상 및 사상 생략)
그림의 가환성 (두 대상 간의 서로 다른 사상 구성의 동등성). 이는 부분순서집합 범주의 두 대상 간 사상의 유일성에 해당한다.

반대로 가환 그림이 주어지면 다음과 같은 부분순서집합 범주를 정의한다.

대상은 노드
노드 사이에 (지정된) 경로가 있는 경우에만 두 대상 사이에 형태가 존재
이 사상은 유일하다는 관계 (사상의 모든 구성은 정의역과 대상에 의해 정의된다. 이것이 가환성 공리이다)

그러나 모든 그림이 가환하는 것은 아니다 (그림의 개념은 가환 그림을 엄격하게 일반화한다). 간단한 예로서, 자기사상이 있는 단일 대상의 그림 (

f\colon X \to X

) 또는 두 개의 평행 화살표 (

\bullet \rightrightarrows \bullet

, 즉,

f,g\colon X \to Y

, 때로 자유 떨림이라고도 함)는 동등자의 정의에 사용된 대로 가환할 필요가 없다. 또한 대상이나 사상의 수가 많을 때 (또는 무한할 때) 그림이 지저분하거나 그리기가 불가능할 수 있다.

참조

_[1] 웹사이트 Commutative Diagram http://mathworld.wol[...] 2019-11-25
_[2] 서적 Comprehensive Mathematics for Computer Scientists 2 Springer
_[3] 웹사이트 Maths - Category Theory - Arrow - Martin Baker https://www.euclidea[...] 2019-11-25
_[4] 서적 Category Theory in Context https://math.jhu.edu[...] Dover Publications 2016-11-17
_[5] 웹사이트 Diagram Chasing http://mathworld.wol[...] 2019-11-25
_[6] 웹인용 Commutative Diagram http://mathworld.wol[...] 2019-11-25
_[7] 인용
_[8] 웹인용 Maths - Category Theory - Arrow - Martin Baker https://www.euclidea[...] 2019-11-25
_[9] 서적 Category Theory in Context https://math.jhu.edu[...] Dover Publications 2016-11-17
_[10] 웹인용 Diagram Chasing http://mathworld.wol[...] 2019-11-25

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